几何最值问题综述：对于学生而言，刷了无数的题，总结了无数的解题方法，做了无数的笔记，积累了无数的错题，普遍认为初中平面几何问题中，最难是几何最值问题，而几何最值问题往往又与平面几何三大变化（平移变化、轴对称变化、旋转变化）相关。
几何最值理论依据有：①两点之间，线段最短。
②点到直线的距离，垂线段最短。
③三角形三边关系。
几何最值所用思想：转化思想
今天介绍隐形圆问题，隐形圆问题一共分5类：定点定长、四点共圆、定弦定角、定角定高、最大张角，本文介绍最基础的定点定长型。利用隐形圆求线段最值，最终都要用到：“一箭穿心”构图，一箭穿心是隐圆求最值问题的基础。
何为“一箭穿心”？先看一个图：
求PQ最大值，当点P,O,Q三点共线且点O在P,Q中间时，PQ长度最大，如图
求PQ最小值，当点P,O,Q三点共线且点Q在P,O中间时，PQ长度最小，如图
简而言之：求圆外一点到圆上的距离最值，圆外一点和圆上一点构成线段必过圆心，即一箭穿心。
定角定高型隐形圆问题：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。
条件：在△ABC中，∠BAC=α（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。
结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。
证明：如图，作△ABC的外接圆O，连接OA，OB，OC，
过点O作OE⊥BC于点H，设圆O的半径为r，则∠BOH=∠BAC=α
∴BC=2BH=2OB×sinα=2r×sinα
∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）
∴r+rcosa≥h，
∴当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2r×sinα
∴△ABC的面积最小，△ABC的周长最小
典型题：
在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是__________．
分析：该题破题关键是利用半角模型作出辅助线把△ADF逆时针旋转120°得到△ABF’，再过A作AM⊥CB于点M，AN⊥EF于点H，得到AH=AM（定高），∠EAF＝60°（定角），因为是填空题，相关结论不再证明（前面已证），当AE=AF时，△AEF的面积最小。
解：辅助线如图所示（简写过程）
易得：点F’B,C三点共线，△AEF’≌△AEF
∴AH=AM（定高）
∴∠EAF＝60°（定角）
∴符合定角定高型，当AE=AF时，△AEF的面积最小
∴此时△AEF为等边三角形
∴S△AEF最小＝4√3
∴△AEF的面积的最小值是4√3
如图，正方形ABCD边长为8，E、F分别是边BC、CD上的动点，∠EAF=45°，则△AEF面积的最小值为________.
