几何最值问题综述：对于学生而言，刷了无数的题，总结了无数的解题方法，做了无数的笔记，积累了无数的错题，普遍认为初中平面几何问题中，最难是几何最值问题，而几何最值问题往往又与平面几何三大变化（平移变化、轴对称变化、旋转变化）相关。
几何最值理论依据有：①两点之间，线段最短。
②点到直线的距离，垂线段最短。
③三角形三边关系。
几何最值所用思想：转化思想
今天介绍隐形圆问题，隐形圆问题一共分5类：定点定长、四点共圆、定弦定角、定角定高、最大张角，本文介绍最基础的定点定长型。利用隐形圆求线段最值，最终都要用到：“一箭穿心”构图，一箭穿心是隐圆求最值问题的基础。
何为“一箭穿心”？先看一个图：
求PQ最大值，当点P,O,Q三点共线且点O在P,Q中间时，PQ长度最大，如图
求PQ最小值，当点P,O,Q三点共线且点Q在P,O中间时，PQ长度最小，如图
简而言之：求圆外一点到圆上的距离最值，圆外一点和圆上一点构成线段必过圆心，即一箭穿心。
定弦定角隐形圆问题：该问题和前面的四点共圆有重合的部分，区别是利用不在同一直线的三点确定一个圆。理论依据，圆的内接四边形对角互补、圆周角定理、三点定圆。只不过圆没有直接画出来，需要解题者自行画出圆来解决。
题型特点：
①存在对角互补的四边形。
②同弧（弦）等角。
③同弧所对两角成二倍关系
解题步骤：
1.画出隐形圆
2.利用一箭穿心构图，综合勾股定理，三角函数等知识解题。
典型题：
1、如图，四边形ABCD为矩形,AB=3，BC=4．点P是线段上一动点，
点M为线段上一点．∠ADM=∠BAP，求BM的最小值。
分析：∠ADM=∠BAP，四边形ABCD是矩形可得∠AMD是90°，AB=3，符合定弦定角。
解：辅助线如图所示，
易得：点M在弧AM上运动，是圆O的一部分。
∵AB=3，BC=4
∴OA=2
∴OB=√13
当点B,M,O三点共线时，BM最小
BM最小=√13-2
BM的最小值为√13-2
思考：求CM的最小值
2、已知等腰△ABC，∠ACB=120°，AC=BC=3，在平面内任作∠APB=60°，求BP最大值。
方法1：定弦定角解题
由已知条件易得AB是定值（定弦），∠ACB=120°，∠APB=60°（定角）是∠ACB=120°的一半，可以C为圆心，3为半径构造圆，如图
∴当BP是直径时取得最大值
∴BP的最大值是6
方法2：四点共圆解题
分析：∠ACB=120°，∠APB=60°可得：∠ACB和∠APB互补，则点A,B,P,C四点共圆
解：如图
易得：圆O半径为3
∴当BP是直径时取得最大值
∴BP的最大值是6
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点C作射线AP的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______
